KANGJO.INFO, Tamiang Layang, Barito Timur. Tes Kemampuan Akademik (TKA) merupakan bagian dari kebijakan evaluasi pendidikan yang dirancang untuk mengukur capaian akademik peserta didik secara objektif dan terstandar. Dalam rangka memastikan pelaksanaan yang seragam di seluruh Indonesia, Badan Standar, Kurikulum, dan Asesmen Pendidikan (BSKAP) menetapkan Keputusan Kepala BSKAP Nomor 059/H/M/2025 tentang Petunjuk Teknis (Juknis) Penyelenggaraan TKA.
Artikel ini secara khusus membahas implementasi juknis tersebut untuk jenjang SMA/SMK/sederajat, sebagai panduan bagi sekolah, guru, dan pemangku kepentingan pendidikan dan contoh soal beserta jawabannya.
Dasar Hukum
Keputusan ini disusun berdasarkan:
- Undang-Undang Sistem Pendidikan Nasional
- Kebijakan Merdeka Belajar
- Peraturan Menteri Pendidikan terkait asesmen nasional
- Standar nasional pendidikan terbaru
Juknis ini menjadi acuan resmi dalam pelaksanaan TKA tahun 2025 dan seterusnya.
Tujuan Penyelenggaraan TKA
TKA untuk SMA/SMK/sederajat bertujuan untuk:
- Mengukur capaian akademik peserta didik secara komprehensif
- Menyediakan data untuk perbaikan mutu pendidikan
- Mendukung seleksi masuk jenjang pendidikan lebih tinggi
- Mendorong pembelajaran berbasis kompetensi
Ruang Lingkup TKA SMA/SMK
TKA pada jenjang ini mencakup:
1. Materi yang Diujikan
- Literasi: kemampuan memahami, menganalisis, dan mengevaluasi teks
- Numerasi: kemampuan berpikir matematis dalam konteks nyata
- Penalaran: kemampuan berpikir kritis dan logis
- Substansi mata pelajaran tertentu(sesuai jurusan di SMA/SMK)
2. Bentuk Soal
- Pilihan ganda
- Pilihan ganda kompleks
- Isian singkat
- Uraian terbatas
Soal dirancang berbasis Higher Order Thinking Skills (HOTS).
Peserta TKA
Peserta TKA meliputi:
- Siswa kelas akhir SMA/MA
- Siswa kelas akhir SMK/MAK
- Peserta didik pada jalur pendidikan kesetaraan (Paket C)
Mekanisme Pelaksanaan
1. Moda Pelaksanaan
- Berbasis komputer (CBT)sebagai moda utama
- Dapat menggunakan moda semi-online atau offline terbatas jika diperlukan
2. Jadwal Pelaksanaan
- Dilaksanakan sesuai kalender yang ditetapkan oleh BSKAP
- Bersifat nasional dan serentak (dengan penyesuaian teknis daerah)
3. Tahapan Pelaksanaan
- Persiapan
- Pendataan peserta
- Penyiapan sarana prasarana
- Pelatihan proktor dan pengawas
- Pelaksanaan
- Ujian sesuai jadwal
- Pengawasan ketat berbasis sistem
- Pengolahan Hasil
- Sistem terpusat
- Analisis capaian peserta didik
- Pelaporan
- Disampaikan kepada sekolah, peserta, dan pemangku kebijakan
Peran Sekolah dan Guru
Sekolah
- Menyiapkan infrastruktur TKA
- Menjamin kejujuran dan kelancaran pelaksanaan
- Mengelola administrasi peserta
Guru
- Membimbing siswa dalam persiapan TKA
- Mengintegrasikan Literasidan numerasi dalam pembelajaran
- Menganalisis hasil TKA untuk perbaikan pembelajaran
Prinsip Penyelenggaraan TKA
TKA dilaksanakan dengan prinsip:
- Objektif
- Transparan
- Akuntabel
- Adil dan inklusif
Pemanfaatan Hasil TKA
Hasil TKA digunakan untuk:
- Evaluasi capaian belajar siswa
- Pemetaan mutu pendidikan
- Pertimbangan seleksi masuk perguruan tinggi
- Dasar perbaikan kurikulum dan pembelajaran
Penutup
Keputusan Kepala BSKAP Nomor 059/H/M/2025 memberikan panduan komprehensif dalam penyelenggaraan TKA, khususnya untuk jenjang SMA/SMK/sederajat. Dengan pelaksanaan yang terarah dan sesuai juknis, diharapkan TKA dapat menjadi instrumen penting dalam meningkatkan kualitas pendidikan di Indonesia.
Latihan Soal dan Jawaban Numerasi-1 TKA SMA/SMK 2026
Subject: Matematika Tingkat Lanjut | Topic: Polinomial dan Teorema Vieta
Soal No. 1 (Pilihan Ganda (Single Choice))
Stimulus:
Sebuah perusahaan teknologi mengembangkan model matematis untuk memprediksi stabilitas sistem pendingin server. Model tersebut dinyatakan dalam bentuk polinomial derajat tiga f(x) = x^3 – 14x^2 + px – 64, dengan x mewakili variabel suhu dalam derajat Celsius. Diketahui bahwa titik-titik kesetimbangan suhu sistem tersebut merupakan akar-akar dari polinomial f(x) dan membentuk sebuah barisan geometri yang meningkat.
Pertanyaan: Berapakah nilai parameter p yang memenuhi karakteristik sistem pendingin tersebut?
- 48.
- 52.
- 56.
- 60.
- 64.
Kunci & Pembahasan:
Jawaban: C
Misalkan akar-akar polinomial f(x) adalah x1, x2, dan x3. Karena membentuk barisan geometri, maka x1 = a/r, x2 = a, dan x3 = ar. Berdasarkan Teorema Vieta, hasil kali akar-akarnya adalah x1 x2 x3 = -(-64)/1 = 64. Maka (a/r) a (ar) = 64, sehingga a^3 = 64 dan didapat a = 4. Berdasarkan jumlah akar-akar: x1 + x2 + x3 = -(-14)/1 = 14. Substitusi a = 4 menjadi 4/r + 4 + 4r = 14, sehingga 4/r + 4r = 10 atau 2/r + 2r = 5. Persamaan kuadrat dalam r: 2r^2 – 5r + 2 = 0, menghasilkan r = 2 atau r = 1/2. Akar-akarnya adalah 2, 4, dan 8. Nilai p adalah jumlah perkalian dua akar: p = (x1 x2) + (x2 x3) + (x3 x1) = (2 4) + (4 8) + (8 2) = 8 + 32 + 16 = 56.
Soal No. 2 (Pilihan Ganda (Single Choice))
Stimulus:
Sebuah perusahaan teknologi mengembangkan model matematis untuk memprediksi stabilitas sistem pendingin server. Model tersebut dinyatakan dalam bentuk polinomial derajat tiga f(x) = x^3 – 14x^2 + px – 64, dengan x mewakili variabel suhu dalam derajat Celsius. Diketahui bahwa titik-titik kesetimbangan suhu sistem tersebut merupakan akar-akar dari polinomial f(x) dan membentuk sebuah barisan geometri yang meningkat.
Pertanyaan: Jika akar-akar polinomial tersebut dianggap sebagai dimensi panjang, lebar, dan tinggi dari sebuah ruang penyimpanan data (dalam meter), berapakah luas permukaan total dari ruang tersebut?
- 96 m^2.
- 104 m^2.
- 112 m^2.
- 120 m^2.
- 128 m^2.
Kunci & Pembahasan:
Jawaban: C
Akar-akar dari f(x) adalah x1 = 2, x2 = 4, dan x3 = 8. Jika dimensi ruang penyimpanan adalah panjang (l), lebar (w), dan tinggi (h), maka luas permukaan total (L) sebuah balok adalah L = 2 (lw + wh + hl). Dari Teorema Vieta, nilai p pada f(x) = x^3 – 14x^2 + px – 64 mewakili (x1x2 + x2x3 + x3x1). Berdasarkan perhitungan sebelumnya, p = 56. Maka L = 2 p = 2 56 = 112 m^2.
Soal No. 3 (Pilihan Ganda (Single Choice))
Stimulus:
Sebuah perusahaan teknologi mengembangkan model matematis untuk memprediksi stabilitas sistem pendingin server. Model tersebut dinyatakan dalam bentuk polinomial derajat tiga f(x) = x^3 – 14x^2 + px – 64, dengan x mewakili variabel suhu dalam derajat Celsius. Diketahui bahwa titik-titik kesetimbangan suhu sistem tersebut merupakan akar-akar dari polinomial f(x) dan membentuk sebuah barisan geometri yang meningkat.
Pertanyaan: Berapakah jumlah kuadrat dari seluruh titik kesetimbangan suhu sistem tersebut?
- 72.
- 76.
- 80.
- 84.
- 88.
Kunci & Pembahasan:
Jawaban: D
Titik kesetimbangan suhu adalah akar-akar x1, x2, dan x3. Kita diminta mencari nilai x1^2 + x2^2 + x3^2. Menggunakan identitas aljabar: x1^2 + x2^2 + x3^2 = (x1 + x2 + x3)^2 – 2(x1x2 + x2x3 + x3x1). Dari persamaan f(x) = x^3 – 14x^2 + 56x – 64, kita tahu bahwa x1 + x2 + x3 = 14 dan x1x2 + x2x3 + x3x1 = 56. Maka: 14^2 – 2(56) = 196 – 112 = 84.
Soal No. 4 (Pilihan Ganda (Single Choice))
Stimulus:
Sebuah perusahaan pengemasan merancang kotak berbentuk prisma segiempat dengan volume V(x). Panjang (p), lebar (l), dan tinggi (t) kotak tersebut merupakan akar-akar real dari polinomial P(x) = x^3 – 15x^2 + 71x – 105. Tim pengembang melakukan analisis struktur untuk menentukan efisiensi material dan stabilitas dimensi berdasarkan hubungan antara koefisien polinomial dan dimensi fisik kotak tersebut.
Pertanyaan: Berdasarkan stimulus tersebut, berapakah luas permukaan total dari kotak yang dirancang?
- 71 satuan luas.
- 105 satuan luas.
- 142 satuan luas.
- 150 satuan luas.
- 210 satuan luas.
Kunci & Pembahasan:
Jawaban: C
Dalam polinomial P(x) = x^3 – 15x^2 + 71x – 105, berdasarkan Teorema Vieta, jumlah perkalian dua akar (pl + pt + lt) adalah c/a = 71/1 = 71. Luas permukaan prisma segiempat didefinisikan sebagai 2(pl + pt + lt). Maka, luas permukaan kotak tersebut adalah 2 * 71 = 142 satuan luas.
Soal No. 5 (Pilihan Ganda (Single Choice))
Stimulus:
Sebuah perusahaan pengemasan merancang kotak berbentuk prisma segiempat dengan volume V(x). Panjang (p), lebar (l), dan tinggi (t) kotak tersebut merupakan akar-akar real dari polinomial P(x) = x^3 – 15x^2 + 71x – 105. Tim pengembang melakukan analisis struktur untuk menentukan efisiensi material dan stabilitas dimensi berdasarkan hubungan antara koefisien polinomial dan dimensi fisik kotak tersebut.
Pertanyaan: Nilai dari jumlah kuadrat dimensi panjang, lebar, dan tinggi kotak tersebut adalah ….
- 71 satuan
- 83 satuan
- 142 satuan
- 154 satuan
- 225 satuan
Kunci & Pembahasan:
Jawaban: B
Untuk mencari p^2 + l^2 + t^2, kita menggunakan identitas (p + l + t)^2 – 2(pl + pt + lt). Dari polinomial P(x), diketahui p + l + t = -b/a = 15 dan pl + pt + lt = c/a = 71. Maka, p^2 + l^2 + t^2 = 15^2 – 2(71) = 225 – 142 = 83 satuan.
Soal No. 6 (Pilihan Ganda (Single Choice))
Stimulus:
Sebuah perusahaan pengemasan merancang kotak berbentuk prisma segiempat dengan volume V(x). Panjang (p), lebar (l), dan tinggi (t) kotak tersebut merupakan akar-akar real dari polinomial P(x) = x^3 – 15x^2 + 71x – 105. Tim pengembang melakukan analisis struktur untuk menentukan efisiensi material dan stabilitas dimensi berdasarkan hubungan antara koefisien polinomial dan dimensi fisik kotak tersebut.
Pertanyaan: Jika tim pengembang memerlukan nilai dari jumlah kebalikan setiap dimensi kotak (1/p + 1/l + 1/t), maka nilai tersebut adalah ….
- 15/105
- 15/71
- 71/105
- 105/71
- 71/15
Kunci & Pembahasan:
Jawaban: C
Jumlah kebalikan akar-akar (1/p + 1/l + 1/t) dapat dinyatakan sebagai (pl + pt + lt) / (p l t). Dari polinomial P(x) = x^3 – 15x^2 + 71x – 105, kita peroleh pl + pt + lt = 71 dan p l t = -d/a = -(-105)/1 = 105. Jadi, nilainya adalah 71/105.
Soal No. 7 (Pilihan Ganda (Single Choice))
Stimulus:
Seorang arsitek sedang merancang struktur jembatan gantung modern. Ketinggian tiga pilar penyangga utama jembatan tersebut, yang dinyatakan sebagai x1, x2, dan x3 (dalam satuan meter), merupakan akar-akar dari sebuah persamaan polinomial f(x) = x^3 – 14x^2 + px – 64 = 0. Berdasarkan spesifikasi desain, arsitek tersebut menetapkan bahwa ketiga ketinggian pilar tersebut harus membentuk sebuah barisan geometri yang berkelanjutan untuk menjaga keseimbangan distribusi beban jembatan.
Pertanyaan: Berdasarkan informasi pada stimulus, nilai koefisien p pada persamaan polinomial tersebut adalah ….
- 48 m^2
- 52 m^2
- 56 m^2
- 60 m^2
- 64 m^2
Kunci & Pembahasan:
Jawaban: C
Misalkan akar-akar polinomial adalah x1, x2, dan x3. Karena membentuk barisan geometri, maka x1 = a/r, x2 = a, dan x3 = ar. Berdasarkan Teorema Vieta, hasil kali akar-akar (x1.x2.x3) = -d/a = -(-64)/1 = 64. Maka (a/r)(a)(ar) = 64, sehingga a^3 = 64 dan didapat a = x2 = 4. Selanjutnya, jumlah akar-akar (x1+x2+x3) = -b/a = -(-14)/1 = 14. Maka 4/r + 4 + 4r = 14, yang menyederhanakan menjadi 4/r + 4r = 10 atau 2r^2 – 5r + 2 = 0. Akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah r = 2 atau r = 0,5. Jika r = 2, maka ketinggian pilar adalah 2, 4, dan 8 meter. Nilai p adalah jumlah perkalian dua akar (x1.x2 + x2.x3 + x1.x3) = c/a = p/1. Jadi p = (2.4) + (4.8) + (8.2) = 8 + 32 + 16 = 56.
Soal No. 8 (Pilihan Ganda (Single Choice))
Stimulus:
Seorang arsitek sedang merancang struktur jembatan gantung modern. Ketinggian tiga pilar penyangga utama jembatan tersebut, yang dinyatakan sebagai x1, x2, dan x3 (dalam satuan meter), merupakan akar-akar dari sebuah persamaan polinomial f(x) = x^3 – 14x^2 + px – 64 = 0. Berdasarkan spesifikasi desain, arsitek tersebut menetapkan bahwa ketiga ketinggian pilar tersebut harus membentuk sebuah barisan geometri yang berkelanjutan untuk menjaga keseimbangan distribusi beban jembatan.
Pertanyaan: Berapakah jumlah kuadrat dari ketinggian ketiga pilar penyangga tersebut?
- 72 m^2.
- 78 m^2.
- 84 m^2.
- 90 m^2.
- 96 m^2.
Kunci & Pembahasan:
Jawaban: C
Jumlah kuadrat akar-akar dapat dihitung menggunakan identitas (x1^2 + x2^2 + x3^2) = (x1 + x2 + x3)^2 – 2(x1.x2 + x2.x3 + x1.x3). Dari Teorema Vieta pada soal sebelumnya, diketahui x1 + x2 + x3 = 14 dan x1.x2 + x2.x3 + x1.x3 = p = 56. Maka, x1^2 + x2^2 + x3^2 = (14)^2 – 2(56) = 196 – 112 = 84. Jadi, jumlah kuadrat ketinggian ketiga pilar adalah 84 m^2.
Soal No. 9 (Pilihan Ganda (Single Choice))
Stimulus:
Seorang arsitek sedang merancang struktur jembatan gantung modern. Ketinggian tiga pilar penyangga utama jembatan tersebut, yang dinyatakan sebagai x1, x2, dan x3 (dalam satuan meter), merupakan akar-akar dari sebuah persamaan polinomial f(x) = x^3 – 14x^2 + px – 64 = 0. Berdasarkan spesifikasi desain, arsitek tersebut menetapkan bahwa ketiga ketinggian pilar tersebut harus membentuk sebuah barisan geometri yang berkelanjutan untuk menjaga keseimbangan distribusi beban jembatan.
Pertanyaan: Nilai dari jumlah pangkat tiga dari ketinggian ketiga pilar tersebut adalah ….
- 512 m^3
- 544 m^3
- 584 m^3
- 624 m^3
- 656 m^3
Kunci & Pembahasan:
Jawaban: C
Dari analisis sebelumnya, diketahui akar-akar (ketinggian pilar) adalah 2 m, 4 m, dan 8 m. Jumlah pangkat tiga dari akar-akar tersebut adalah x1^3 + x2^3 + x3^3. Maka, 2^3 + 4^3 + 8^3 = 8 + 64 + 512 = 584. Secara alternatif, menggunakan identitas x1^3 + x2^3 + x3^3 – 3×1.x2.x3 = (x1 + x2 + x3)(x1^2 + x2^2 + x3^2 – (x1.x2 + x2.x3 + x1.x3)), didapatkan x1^3 + x2^3 + x3^3 – 3(64) = 14(84 – 56) => x1^3 + x2^3 + x3^3 – 192 = 14(28) => x1^3 + x2^3 + x3^3 = 392 + 192 = 584.
Soal No. 10 (Pilihan Ganda (Single Choice))
Stimulus:
Seorang arsitek merancang sebuah wadah penyimpanan air berbentuk prisma segi empat (balok). Dimensi panjang, lebar, dan tinggi wadah tersebut (dalam satuan desimeter) merupakan akar-akar real dari persamaan polinomial f(x) = x³ – 12x² + 48x – 64 = 0. Arsitek tersebut perlu memastikan efisiensi material dengan menganalisis hubungan antar dimensi tersebut melalui koefisien-koefisien polinomial yang tersedia tanpa harus mencari nilai akar-akarnya secara manual terlebih dahulu.
Pertanyaan: Berdasarkan stimulus tersebut, berapakah hasil dari jumlah kebalikan setiap dimensi (panjang, lebar, dan tinggi) wadah penyimpanan tersebut?
- 0,25 dm⁻¹.
- 0,50 dm⁻¹.
- 0,75 dm⁻¹.
- 1,00 dm⁻¹.
- 1,25 dm⁻¹.
Kunci & Pembahasan:
Jawaban: C
Berdasarkan Teorema Vieta untuk polinomial ax³ + bx² + cx + d = 0, jumlah akar-akar (x₁ + x₂ + x₃) = -b/a, jumlah hasil kali dua akar (x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃) = c/a, dan hasil kali ketiga akar (x₁x₂x₃) = -d/a. Dari f(x) = x³ – 12x² + 48x – 64, diperoleh a=1, b=-12, c=48, d=-64. Maka, x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃ = 48/1 = 48 dan x₁x₂x₃ = -(-64)/1 = 64. Jumlah kebalikan akar adalah 1/x₁ + 1/x₂ + 1/x₃ = (x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃) / (x₁x₂x₃) = 48/64 = 0,75.
Soal No. 11 (Pilihan Ganda (Single Choice))
Stimulus:
Seorang arsitek merancang sebuah wadah penyimpanan air berbentuk prisma segi empat (balok). Dimensi panjang, lebar, dan tinggi wadah tersebut (dalam satuan desimeter) merupakan akar-akar real dari persamaan polinomial f(x) = x³ – 12x² + 48x – 64 = 0. Arsitek tersebut perlu memastikan efisiensi material dengan menganalisis hubungan antar dimensi tersebut melalui koefisien-koefisien polinomial yang tersedia tanpa harus mencari nilai akar-akarnya secara manual terlebih dahulu.
Pertanyaan: Luas permukaan total dari wadah penyimpanan berbentuk prisma segi empat tersebut adalah ….
- 48 dm²
- 64 dm²
- 96 dm²
- 112 dm²
- 144 dm²
Kunci & Pembahasan:
Jawaban: C
Luas permukaan balok dengan dimensi x₁, x₂, dan x₃ dirumuskan sebagai L = 2(x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃). Berdasarkan Teorema Vieta, nilai dari (x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃) adalah c/a. Dari persamaan f(x) = x³ – 12x² + 48x – 64, nilai c = 48 dan a = 1. Jadi, x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃ = 48. Luas permukaan total adalah 2 × 48 = 96 dm².
Soal No. 12 (Pilihan Ganda (Single Choice))
Stimulus:
Seorang arsitek merancang sebuah wadah penyimpanan air berbentuk prisma segi empat (balok). Dimensi panjang, lebar, dan tinggi wadah tersebut (dalam satuan desimeter) merupakan akar-akar real dari persamaan polinomial f(x) = x³ – 12x² + 48x – 64 = 0. Arsitek tersebut perlu memastikan efisiensi material dengan menganalisis hubungan antar dimensi tersebut melalui koefisien-koefisien polinomial yang tersedia tanpa harus mencari nilai akar-akarnya secara manual terlebih dahulu.
Pertanyaan: Berapakah hasil penjumlahan kuadrat dari masing-masing dimensi (panjang, lebar, dan tinggi) wadah tersebut?
- 16 dm².
- 32 dm².
- 48 dm².
- 64 dm².
- 80 dm².
Kunci & Pembahasan:
Jawaban: C
Untuk mencari jumlah kuadrat akar-akar (x₁² + x₂² + x₃²), kita menggunakan identitas: x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ + x₃)² – 2(x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃). Dari Teorema Vieta pada f(x) = x³ – 12x² + 48x – 64: (x₁ + x₂ + x₃) = -(-12)/1 = 12 dan (x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃) = 48/1 = 48. Maka, x₁² + x₂² + x₃² = (12)² – 2(48) = 144 – 96 = 48 dm².
Soal No. 13 (Pilihan Ganda (Single Choice))
Stimulus:
Dalam sebuah permodelan sistem mekanik, stabilitas sistem ditentukan oleh akar-akar dari sebuah persamaan polinomial berderajat tiga. Persamaan tersebut diberikan oleh f(x) = x³ – 15x² + 66x – 80 = 0, di mana x₁, x₂, dan x₃ adalah nilai-nilai kritis yang merepresentasikan titik kesetimbangan sistem dalam satuan centimeter. Diketahui bahwa nilai-nilai kritis tersebut merupakan bilangan real positif dan membentuk sebuah barisan aritmetika. Teorema Vieta menyatakan bahwa terdapat hubungan yang tetap antara koefisien-koefisien polinomial dengan hasil penjumlahan serta hasil perkalian dari akar-akarnya.
Pertanyaan: Berdasarkan stimulus tersebut, berapakah nilai dari jumlah kuadrat akar-akar persamaan polinomial tersebut (x₁² + x₂² + x₃²)?
- 81.
- 87.
- 93.
- 99.
- 105.
Kunci & Pembahasan:
Jawaban: C
Berdasarkan Teorema Vieta untuk f(x) = x³ – 15x² + 66x – 80, kita peroleh: (1) x₁ + x₂ + x₃ = -(-15)/1 = 15, dan (2) x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃ = 66/1 = 66. Identitas aljabar untuk jumlah kuadrat adalah x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ + x₃)² – 2(x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃). Substitusi nilai yang diketahui: 15² – 2(66) = 225 – 132 = 93.
Soal No. 14 (Pilihan Ganda (Single Choice))
Stimulus:
Dalam sebuah permodelan sistem mekanik, stabilitas sistem ditentukan oleh akar-akar dari sebuah persamaan polinomial berderajat tiga. Persamaan tersebut diberikan oleh f(x) = x³ – 15x² + 66x – 80 = 0, di mana x₁, x₂, dan x₃ adalah nilai-nilai kritis yang merepresentasikan titik kesetimbangan sistem dalam satuan centimeter. Diketahui bahwa nilai-nilai kritis tersebut merupakan bilangan real positif dan membentuk sebuah barisan aritmetika. Teorema Vieta menyatakan bahwa terdapat hubungan yang tetap antara koefisien-koefisien polinomial dengan hasil penjumlahan serta hasil perkalian dari akar-akarnya.
Pertanyaan: Jika diasumsikan urutan akar-akar adalah x₁ < x₂ < x₃, berapakah beda dari barisan aritmetika yang terbentuk oleh titik-titik kesetimbangan tersebut?
- 1.
- 2.
- 3.
- 4.
- 5.
Kunci & Pembahasan:
Jawaban: C
Misalkan akar-akar barisan aritmetika adalah (a – b), a, (a + b). Jumlah akar: (a – b) + a + (a + b) = 15, maka 3a = 15 sehingga a = 5. Hasil kali akar: (a – b)(a)(a + b) = -(-80)/1 = 80. Substitusi a = 5: (5 – b)(5)(5 + b) = 80, maka 25 – b² = 16, sehingga b² = 9 dan b = 3. Akar-akarnya adalah 2, 5, dan 8 dengan beda 3.
Soal No. 15 (Pilihan Ganda (Single Choice))
Stimulus:
Dalam sebuah permodelan sistem mekanik, stabilitas sistem ditentukan oleh akar-akar dari sebuah persamaan polinomial berderajat tiga. Persamaan tersebut diberikan oleh f(x) = x³ – 15x² + 66x – 80 = 0, di mana x₁, x₂, dan x₃ adalah nilai-nilai kritis yang merepresentasikan titik kesetimbangan sistem dalam satuan centimeter. Diketahui bahwa nilai-nilai kritis tersebut merupakan bilangan real positif dan membentuk sebuah barisan aritmetika. Teorema Vieta menyatakan bahwa terdapat hubungan yang tetap antara koefisien-koefisien polinomial dengan hasil penjumlahan serta hasil perkalian dari akar-akarnya.
Pertanyaan: Misalkan terdapat polinomial baru g(x) yang akar-akarnya adalah 1/x₁, 1/x₂, dan 1/x₃. Jika koefisien pangkat tertinggi dari g(x) adalah 80, berapakah nilai suku konstan dari polinomial g(x) tersebut?
- -5.
- -2.
- -1.
- 1.
- 5.
Kunci & Pembahasan:
Jawaban: C
Polinomial g(x) dengan akar 1/x₁, 1/x₂, 1/x₃ dan koefisien utama 80 dapat dinyatakan sebagai g(x) = 80(x – 1/x₁)(x – 1/x₂)(x – 1/x₃). Suku konstan g(x) diperoleh saat x = 0, yaitu 80 (-1/x₁ -1/x₂ * -1/x₃) = -80 / (x₁x₂x₃). Dari polinomial f(x), hasil kali akar x₁x₂x₃ = -(-80)/1 = 80. Maka, suku konstan g(x) adalah -80 / 80 = -1.
Soal No. 16 (Pilihan Ganda (Single Choice))
Stimulus:
Sebuah perusahaan manufaktur sedang merancang sebuah wadah penyimpanan berbentuk balok. Dimensi panjang (p), lebar (l), dan tinggi (t) dari wadah tersebut merupakan akar-akar real dari sebuah polinomial berderajat tiga P(x) = x³ – ax² + bx – c. Berdasarkan spesifikasi teknis yang diinginkan, jumlah ketiga dimensi tersebut adalah 15 cm, sedangkan jumlah dari hasil kali dua dimensinya adalah 71 cm². Diketahui pula bahwa volume wadah tersebut adalah 105 cm³.
Pertanyaan: Berdasarkan spesifikasi teknis wadah tersebut, berapakah jumlah panjang seluruh rusuk balok yang akan dibuat?
- 30 cm.
- 45 cm.
- 60 cm.
- 75 cm.
- 90 cm.
Kunci & Pembahasan:
Jawaban: C
Berdasarkan Teorema Vieta untuk polinomial P(x) = x³ – ax² + bx – c, jumlah akar-akarnya (p + l + t) adalah koefisien ‘a’. Dari stimulus diketahui bahwa jumlah ketiga dimensi tersebut adalah 15 cm. Sebuah balok memiliki 12 rusuk yang terdiri dari 4 panjang, 4 lebar, dan 4 tinggi. Maka, jumlah seluruh rusuk = 4(p + l + t) = 4(15) = 60 cm.
Soal No. 17 (Pilihan Ganda (Single Choice))
Stimulus:
Sebuah perusahaan manufaktur sedang merancang sebuah wadah penyimpanan berbentuk balok. Dimensi panjang (p), lebar (l), dan tinggi (t) dari wadah tersebut merupakan akar-akar real dari sebuah polinomial berderajat tiga P(x) = x³ – ax² + bx – c. Berdasarkan spesifikasi teknis yang diinginkan, jumlah ketiga dimensi tersebut adalah 15 cm, sedangkan jumlah dari hasil kali dua dimensinya adalah 71 cm². Diketahui pula bahwa volume wadah tersebut adalah 105 cm³.
Pertanyaan: Berapakah selisih antara dimensi terpanjang dan dimensi terpendek dari wadah tersebut?
- 2 cm.
- 3 cm.
- 4 cm.
- 5 cm.
- 6 cm.
Kunci & Pembahasan:
Jawaban: C
Persamaan polinomialnya adalah x³ – 15x² + 71x – 105 = 0. Dengan menguji faktor dari 105 (seperti 1, 3, 5, 7), kita temukan bahwa x = 3 adalah akar karena 3³ – 15(3²) + 71(3) – 105 = 27 – 135 + 213 – 105 = 0. Dengan pembagian polinomial, didapat (x – 3)(x² – 12x + 35) = 0, yang difaktorkan menjadi (x – 3)(x – 5)(x – 7) = 0. Dimensinya adalah 3 cm, 5 cm, dan 7 cm. Selisih terpanjang dan terpendek adalah 7 – 3 = 4 cm.
Soal No. 18 (Pilihan Ganda (Single Choice))
Stimulus:
Sebuah perusahaan manufaktur sedang merancang sebuah wadah penyimpanan berbentuk balok. Dimensi panjang (p), lebar (l), dan tinggi (t) dari wadah tersebut merupakan akar-akar real dari sebuah polinomial berderajat tiga P(x) = x³ – ax² + bx – c. Berdasarkan spesifikasi teknis yang diinginkan, jumlah ketiga dimensi tersebut adalah 15 cm, sedangkan jumlah dari hasil kali dua dimensinya adalah 71 cm². Diketahui pula bahwa volume wadah tersebut adalah 105 cm³.
Pertanyaan: Jika setiap dimensi wadah tersebut ditambah panjangnya sebesar 2 cm, berapakah jumlah ketiga dimensi pada wadah yang baru?
- 17 cm.
- 19 cm.
- 21 cm.
- 23 cm.
- 25 cm.
Kunci & Pembahasan:
Jawaban: C
Dimensi awal adalah p, l, dan t dengan p + l + t = 15. Jika setiap dimensi ditambah 2 cm, maka dimensi baru adalah (p+2), (l+2), dan (t+2). Jumlah dimensi baru = (p+2) + (l+2) + (t+2) = (p + l + t) + 6 = 15 + 6 = 21 cm.
Soal No. 19 (Pilihan Ganda (Single Choice))
Stimulus:
Dalam sebuah proyek desain arsitektur, seorang insinyur merancang sebuah ruang penyimpanan berbentuk prisma tegak segiempat. Dimensi panjang (x₁), lebar (x₂), dan tinggi (x₃) ruang tersebut dinyatakan sebagai akar-akar dari sebuah polinomial derajat tiga P(x) = x³ – ax² + bx – c. Berdasarkan spesifikasi teknis, diketahui bahwa jumlah dari ketiga dimensi tersebut adalah 10 m. Selain itu, luas permukaan total dari prisma tersebut adalah 64 m², dan volume ruang penyimpanan yang diinginkan adalah 40 m³.
Pertanyaan: Berdasarkan stimulus tersebut, berapakah jumlah kuadrat dari ketiga dimensi ruang penyimpanan tersebut?
- 32 m².
- 34 m².
- 36 m².
- 38 m².
- 40 m².
Kunci & Pembahasan:
Jawaban: C
Misalkan akar-akar polinomial tersebut adalah x₁, x₂, dan x₃ yang mewakili dimensi prisma. Berdasarkan Teorema Vieta untuk P(x) = x³ – ax² + bx – c: (1) x₁ + x₂ + x₃ = a = 10 (jumlah dimensi), (2) x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = b. Luas permukaan prisma diberikan oleh rumus 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃) = 64, sehingga b = 32. Untuk mencari jumlah kuadrat dimensi (x₁² + x₂² + x₃²), kita gunakan identitas aljabar: (x₁ + x₂ + x₃)² = x₁² + x₂² + x₃² + 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃). Substitusi nilai yang diketahui: 10² = x₁² + x₂² + x₃² + 64. Maka, x₁² + x₂² + x₃² = 100 – 64 = 36 m².
Soal No. 20 (Pilihan Ganda (Single Choice))
Stimulus:
Dalam sebuah proyek desain arsitektur, seorang insinyur merancang sebuah ruang penyimpanan berbentuk prisma tegak segiempat. Dimensi panjang (x₁), lebar (x₂), dan tinggi (x₃) ruang tersebut dinyatakan sebagai akar-akar dari sebuah polinomial derajat tiga P(x) = x³ – ax² + bx – c. Berdasarkan spesifikasi teknis, diketahui bahwa jumlah dari ketiga dimensi tersebut adalah 10 m. Selain itu, luas permukaan total dari prisma tersebut adalah 64 m², dan volume ruang penyimpanan yang diinginkan adalah 40 m³.
Pertanyaan: Berdasarkan stimulus tersebut, nilai dari 1/(x₁x₂) + 1/(x₁x₃) + 1/(x₂x₃) adalah ….
- 0,15 m⁻²
- 0,20 m⁻²
- 0,25 m⁻²
- 0,30 m⁻²
- 0,35 m⁻²
Kunci & Pembahasan:
Jawaban: C
Berdasarkan Teorema Vieta, jumlah akar-akar adalah x₁ + x₂ + x₃ = 10 m dan hasil kali ketiga akar (yang merupakan volume prisma) adalah x₁x₂x₃ = 40 m³. Bentuk aljabar yang ditanyakan, yaitu 1/(x₁x₂) + 1/(x₁x₃) + 1/(x₂x₃), dapat disederhanakan dengan menyamakan penyebut menjadi (x₃ + x₂ + x₁) / (x₁x₂x₃). Dengan mensubstitusikan nilai yang telah diketahui dari stimulus, kita mendapatkan 10 / 40 = 0,25 m⁻².
Semoga bermanfaat. (kangjo)
LINK DOWNLOAD:
- Kumpulan 20 Soal Numerasi-1 TKA SMA/SMK 2026, SILAHKAN KLIK DISINI!
- Kumpulan 20 Soal Numerasi-2 TKA SMA/SMK 2026, SILAHKAN KLIK DISINI!
- Kumpulan 20 Soal Numerasi-3 TKA SMA/SMK 2026, SILAHKAN KLIK DISINI!
- Kumpulan 20 Soal Numerasi-4 TKA SMA/SMK 2026, SILAHKAN KLIK DISINI!
- Kumpulan 20 Soal Numerasi-5 TKA SMA/SMK 2026, SILAHKAN KLIK DISINI!
